目前大家應(yīng)該是對(duì)數(shù)學(xué)悖論（邏輯的極限與數(shù)學(xué)的困境）比較感興趣的，所以今天好房網(wǎng)小編CC就來為大家整理了一些關(guān)于數(shù)學(xué)悖論（邏輯的極限與數(shù)學(xué)的困境）方面的相關(guān)知識(shí)來分享給大家，希望大家會(huì)喜歡哦。

數(shù)學(xué)悖論（邏輯的極限與數(shù)學(xué)的困境）

為什么自亞里士多德以來的25個(gè)世紀(jì)里，直覺沒有得到像邏輯那樣多的關(guān)注？直覺是難以捉摸的，難以定義和量化，有時(shí)還具有欺騙性。事實(shí)上，甚至還有不同種類的直覺。亞里士多德認(rèn)為，直覺是照亮黑暗的燈塔。然而，在黑暗中的大多數(shù)時(shí)間，它也像一個(gè)探照燈指向錯(cuò)誤的方向。另一方面，邏輯可以被嚴(yán)格地證明，是精確和確定的。

龐加萊：用邏輯來演示，用直覺來發(fā)明

亨利·龐加萊，1854 - 1921

亨利·龐加萊，法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，認(rèn)識(shí)到我們的直覺可能有誤導(dǎo)性（但主要負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)的發(fā)展），邏輯推理是為了直觀結(jié)果的最終論證。他把偉大的數(shù)學(xué)家分為兩類，一類是遵循邏輯但不能“觀察空間”的分析家，另一類是遵循直覺的幾何學(xué)家，據(jù)龐加萊：

邏輯是證明的工具，只有它才能給出確定性；直覺是發(fā)明的工具（龐加萊，1969）。

想象一下，在一節(jié)初等幾何課上，有一個(gè)叫小明的學(xué)生，她用直覺和邏輯學(xué)習(xí)幾何。直覺被用來尋找證明策略。然后用邏輯一步一步地建立一個(gè)證明。小明遇到了以下問題：

已知三角形ABC，證明角a、角b、角c的和為180度。

小明馬上想起了平角是180度。因此，他認(rèn)為，這個(gè)問題一定和一條直線有關(guān)。但現(xiàn)在沒有 直線，那么就在某處畫一條直線（輔助線）。試試在其中一個(gè)頂點(diǎn)處畫一條直線，隨便選c，這條線應(yīng)該是什么方向的？一個(gè)顯而易見的選擇是讓它平行于AB。通過輔助線，小明發(fā)現(xiàn)角a和角d是相等的，角b和角e是相等的，但這只是直觀感受。但是，小明確實(shí)記得平行假設(shè)中的一些東西，它們確實(shí)相等，因此a + b + c = e + d + c = 180。

在這一點(diǎn)上，他解決這個(gè)問題的所有想法都來自于猜測(cè)和自發(fā)的判斷，這些都來自于他在課堂上所學(xué)到的知識(shí)。與其說他是一個(gè)邏輯推理者，不如說他是一個(gè)憑直覺進(jìn)行猜測(cè)的人。接下來，她將運(yùn)用自己的邏輯推理能力將這些點(diǎn)連接起來，并向她的幾何老師演示一個(gè)證明。即使是這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，小明也展示了一個(gè)典型的數(shù)學(xué)家是如何用直覺來發(fā)明和用邏輯來演示的。

羅素：不需要意義的游戲

伯特蘭·羅素，1872 - 1970

羅素和他的同事繼續(xù)弗雷格未完成的研究（詳細(xì)見：機(jī)器人之死——邏輯、直覺和悖論，決策者的困境）。然而，數(shù)學(xué)家們?cè)绞桥Ρ苊飧ダ赘袼磳?duì)的那種悖論，就越容易得出更微妙、更深刻的悖論。

羅素給出了他的悖論的一個(gè)例證，叫做理發(fā)師悖論：

理發(fā)師會(huì)且只會(huì)為那些不給自己刮胡子的人刮胡子。理發(fā)師自己刮胡子嗎？

如果理發(fā)師給自己刮胡子，他（這個(gè)理發(fā)師）就不給他刮胡子；這是一個(gè)矛盾。另一方面，如果理發(fā)師不給自己刮胡子，他就會(huì)被理發(fā)師刮胡子；這也是一個(gè)矛盾。

與弗雷格不同的是，羅素放棄了公理必須是不言而喻的這一觀點(diǎn)，只要公理能夠在不矛盾的情況下發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí)。他曾說過：

數(shù)學(xué)可以被定義為一個(gè)我們永遠(yuǎn)不知道自己在談?wù)撌裁?，也不知道自己所說的是否正確的學(xué)科。

任何先驗(yàn)知識(shí)，無論它感覺如何不言而喻，都是被禁止的，人類的直覺在數(shù)學(xué)發(fā)展中應(yīng)該沒有一席之地。羅素的《數(shù)學(xué)原理》用了362頁才推導(dǎo)出1+1=2，這并不奇怪。

《數(shù)學(xué)原理》第362頁，1+1=2得到了證明。

希爾伯特：不需要玩家的游戲

德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert, 1862-1943）擴(kuò)展了弗雷格和羅素的工作，提出了著名的希爾伯特方案，即數(shù)學(xué)的任何分支都可以被重新表述為一種形式理論，他提出以下3個(gè)問題是否存在正解：

一個(gè)形式理論，其中的公理不能產(chǎn)生矛盾，它的一致性能否在理論本身內(nèi)得到證明？

形式理論能被證明是完備的嗎，因?yàn)樗巳魏握嬲臄?shù)學(xué)陳述在它想要體現(xiàn)的特定分支中。

是否存在一個(gè)純粹的機(jī)械過程，我稱之為通用證明機(jī)制，來判定任何給定的數(shù)學(xué)命題的真假。這個(gè)問題在德語中被稱為判定問題（Entscheidungsproblem）。

希爾伯特期望他所有問題的答案都是肯定的，這將完全消除直覺的必要性，使數(shù)學(xué)不再具有直覺性。在他對(duì)形式理論的樂觀中隱含著他的實(shí)證主義，即所有數(shù)學(xué)問題都可以被解決的信念。他的名言

我們必須知道，我們將知道（Wir müssen wissen, Wir werden wissen）

鐫刻在他的墳?zāi)股?。希爾伯特和他的同事被稱為“形式主義者”。

希爾伯特認(rèn)為，通過從一組一致的公理開始，一個(gè)形式理論可以是完整的，自我驗(yàn)證的。因?yàn)橐粋€(gè)正式的理論不應(yīng)該被人類解釋，而是被機(jī)械地證明，所以它被稱為一個(gè)正式的“系統(tǒng)”。將這種系統(tǒng)稱為“正式”意味著以前對(duì)同一主題的處理是“非正式的”。關(guān)于他的歐幾里得幾何形式理論，希爾伯特曾經(jīng)說過，與其談?wù)擖c(diǎn)、線、面，還不如談?wù)撟雷?、椅子和酒杯?/p>

希爾伯特的“形式”數(shù)論

羅素認(rèn)為數(shù)學(xué)是毫無意義的符號(hào)游戲，而希爾伯特則希望游戲本身能發(fā)揮作用。如果希爾伯特的宏偉愿景是正確的，一個(gè)正式的系統(tǒng)將總結(jié)過去，并確定數(shù)學(xué)的未來。具有諷刺意味的是，希伯特在這方面可能被自己的直覺誤導(dǎo)了。

哥德爾：數(shù)學(xué)家的回歸

庫爾特·哥德爾

庫爾特·哥德爾（1906-1978），奧地利裔美國邏輯學(xué)家。他在完備性定理中證明了一階邏輯的符號(hào)規(guī)則覆蓋了所有有效的邏輯推理，使希爾伯特程序看起來很有前途。然而，哥德爾的不完備性定理會(huì)破壞希爾伯特程序。他發(fā)現(xiàn)，有了后來以他的名字命名的編號(hào)方案，他可以把構(gòu)成數(shù)字正式系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表述表示為數(shù)字本身。這樣，一個(gè)被認(rèn)為可以證明數(shù)字事實(shí)的正式的數(shù)字系統(tǒng)，就可以證明關(guān)于它本身的事實(shí)。在哥德爾的編號(hào)下，一個(gè)正式的數(shù)字系統(tǒng)成為自我參照，如下所示：

此外，該理論還包括關(guān)于理論本身是否可證明的陳述。根據(jù)這一見解，哥德爾巧妙地構(gòu)建了一個(gè)“說謊者悖論”的修改版本，如下所示：

哥德爾悖論

如果它是真的，那么它就不能在理論中被證明。如果它是假的，那么它說的一定是假的，這意味著它在理論中是可以證明的，因此它一定是真的。所以，我們有一個(gè)真正的數(shù)學(xué)命題，它既不能在理論中被證明也不能被否定。一個(gè)數(shù)學(xué)理論的正式系統(tǒng)，即使是像數(shù)論那樣的初等系統(tǒng)，也只是一個(gè)近似值。

圖靈：程序員的崛起

可計(jì)算的是什么？

即使我們滿足于一個(gè)不完備的形式系統(tǒng)，是否存在一個(gè)通用證明機(jī)制來解決判定問題？在深入研究這個(gè)問題之前，我們需要回答什么是“純粹的機(jī)械過程”。英國數(shù)學(xué)家阿蘭·圖靈（Alan Turing, 1912-1954）定義了一個(gè)“純機(jī)械過程”的數(shù)學(xué)模型。模型中定義的機(jī)器會(huì)掃描被分割成方塊的假想磁帶。根據(jù)規(guī)則表和它自己的內(nèi)部狀態(tài)，它接下來在方塊上寫一個(gè)符號(hào)，然后要么保持不變，要么向右或向左移動(dòng)一個(gè)方塊。這個(gè)機(jī)器模型后來被稱為圖靈機(jī)，他用它來進(jìn)行數(shù)學(xué)論證，而不是制造一臺(tái)真正的計(jì)算機(jī)。一般認(rèn)為宇宙中的一切都是可計(jì)算的，當(dāng)且僅當(dāng)它可以簡(jiǎn)化為圖靈機(jī)。這被稱為丘奇-圖靈假說。上面提到的規(guī)則表現(xiàn)在被稱為“計(jì)算機(jī)程序”。

停機(jī)問題

在定義了圖靈機(jī)之后，圖靈進(jìn)一步證明了希爾伯特通用證明機(jī)制的不存在性。受到哥德爾的編號(hào)方案的啟發(fā)，圖靈將機(jī)器編碼為數(shù)字，這樣機(jī)器就可以被研究為數(shù)字，這些數(shù)字可以作為其他機(jī)器的輸入?，F(xiàn)在圖靈可以提出停機(jī)問題了：有沒有一種機(jī)器N，可以決定是否有任何機(jī)器在給定的輸入下停止或永遠(yuǎn)循環(huán)。圖靈指出，僅僅是這種機(jī)器N的存在就會(huì)導(dǎo)致矛盾。

1954年，NACA“計(jì)算機(jī)”與顯微鏡和計(jì)算器一起工作。

圖靈假設(shè)有一個(gè)特殊的機(jī)器M，它的工作與N的工作完全相反。如果N判定一臺(tái)機(jī)器在將自己作為輸入時(shí)停止，M將永遠(yuǎn)循環(huán)。另一方面，如果N判定一臺(tái)機(jī)器永遠(yuǎn)循環(huán)，在這種情況下M將停止。這樣，你可以說M是被設(shè)計(jì)來故意破壞N的?，F(xiàn)在的問題是：當(dāng)特殊機(jī)器M將自己作為輸入時(shí)，它會(huì)停機(jī)嗎？

如果M在M上停止，根據(jù)M的定義，M將永遠(yuǎn)循環(huán)——矛盾

如果M在M上永遠(yuǎn)循環(huán)，M將停止——另一個(gè)矛盾

這個(gè)自我參照悖論如下所示：

停機(jī)問題。

因此，N不存在。停機(jī)問題無法解決，或者從技術(shù)上講，它是無法確定的。

現(xiàn)在我們可以回到希爾伯特的判定問題。如果存在通用證明機(jī)制，我們可以通過將任何對(duì)N的查詢表述為一個(gè)數(shù)學(xué)語句，使其成為N。然而，N并不存在，通用證明機(jī)制也不存在。另一方面，如果N確實(shí)存在，我們可以用以下簡(jiǎn)單的方式實(shí)現(xiàn)通用證明機(jī)制：首先，編寫一個(gè)程序，無限地搜索一個(gè)數(shù)學(xué)語句的所有可能的證明，找到一個(gè)就停止；接下來，我們?cè)儐朜這樣的搜索程序是否停止。因此，停機(jī)問題的不可解性意味著判定問題的不可解，反之亦然。

如果我們想象有N存在，我們就可以很容易地解決許多困難的或開放的數(shù)字理論問題。例如，我們可以證明哥德巴赫猜想，即每個(gè)大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。我們可以簡(jiǎn)單地編寫一個(gè)程序來遍歷從4開始的所有偶數(shù)，并檢查每個(gè)偶數(shù)是否確實(shí)是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。然后，我們將把程序提供給N，并詢問它是否停止，從而證明猜想。事實(shí)上，這個(gè)問題還沒有解決。

不要為人類理性的力量設(shè)定任何界限，而要為數(shù)學(xué)中純粹形式主義的可能性設(shè)定界限。

換句話說，哥德爾和圖靈所展示的是沒有使用直覺的邏輯推理的局限性。他們實(shí)際上證實(shí)了龐加萊的觀點(diǎn)，即邏輯雖然嚴(yán)謹(jǐn)和確定，但它只是一種演示工具，需要由直覺來輔助。

希爾伯特的形式理論是數(shù)學(xué)知識(shí)的近似值。正如宇宙的物理現(xiàn)實(shí)仍然是一個(gè)謎，需要物理學(xué)家去解決它，數(shù)學(xué)知識(shí)的前沿對(duì)數(shù)學(xué)家來說仍然是難以捉摸的?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)家和他們的直覺又回到了游戲中。

計(jì)算機(jī)的誕生和程序員的崛起

在對(duì)停機(jī)問題的證明中，假設(shè)的機(jī)器M必須有一種方法能夠運(yùn)行N來破壞它。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，圖靈創(chuàng)造了通用機(jī)器，它可以讀取任何圖靈機(jī)的編碼。從外部來看，你無法分辨是通用機(jī)器還是特定的機(jī)器在工作?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)是以通用機(jī)為基礎(chǔ)的，通用機(jī)通常被描述為“強(qiáng)大”到可以做任何可以想象到的事情。但是，它的力量從何而來？它實(shí)際上是一個(gè)用來運(yùn)行其他圖靈機(jī)的空殼，這些機(jī)器肯定是由某些人編寫的，不是通過邏輯推理，而是通過創(chuàng)造力、洞察力、判斷和我們心理的許多其他方面的努力，這些努力可以統(tǒng)稱為直覺。從這個(gè)角度來看，圖靈不僅發(fā)明了計(jì)算機(jī)，而且創(chuàng)造了程序員的角色，他們負(fù)責(zé)利用通用機(jī)器的“表達(dá)能力”來編程。我們擁有的是幾乎觸及我們?nèi)粘Ｉ罘椒矫婷娴娜f能電腦，而不是把自己鎖在象牙塔里的全能邏輯機(jī)器！

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