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反三角函數(shù)定義域（三角函數(shù)和反三角函數(shù)的之間的關(guān)系和定義域）
大家好，我是專升本數(shù)學(xué)學(xué)霸，這次我們繼續(xù)來討論三角函數(shù)和反三角函數(shù)的之間的關(guān)系和定義域。那你知道有哪些三角函數(shù)和反三角函數(shù)以及它們之間的關(guān)系和定義域嗎？學(xué)霸來幫你來了。
首先，我們來看看有哪些三角函數(shù)，正弦函數(shù)sin α, 余弦函數(shù)cos α，正切函數(shù) tan α，余切函數(shù)cot α，正割函數(shù)sec α,余割函數(shù)csc α。
接下來，我們來看看有哪些反三角函數(shù)，反正弦函數(shù)arcsin α，反余弦函數(shù) arccos α,反正切函數(shù)arctan α，反正割函數(shù) arcsec α, 反余割函數(shù) arccsc α。
繼續(xù)。我們來看看它們之間的關(guān)系。
反三角函數(shù)和三角函數(shù)互為反函數(shù)。一般來說，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y) 。反函數(shù)x=f -1(y)的定義域是函數(shù)y=f(x)的值域，反函數(shù)x=f -1(y)的值域是函數(shù)y=f(x)的定義域。正函數(shù)與反函數(shù)的圖像是關(guān)于y=x對(duì)稱，最具有代表性的互為反函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。有關(guān)反函數(shù)的內(nèi)容下次具體討論。三角函數(shù)的之間關(guān)系：三角形函數(shù)的關(guān)系可以用六邊形表示，如圖1所示。
圖1 三角函數(shù)的六邊形法則
①平方關(guān)系，在六邊形中，紅色區(qū)域的倒三角形成平方關(guān)系。
圖2 平方關(guān)系
②比值關(guān)系，在六邊形中，任意一點(diǎn)的值是前面相鄰兩個(gè)函數(shù)的比值。
圖3 比值關(guān)系
③倒數(shù)關(guān)系，在六邊形中，六邊形的對(duì)角線的兩個(gè)三角函數(shù)成倒數(shù)關(guān)系。
圖4 倒數(shù)關(guān)系
④ 乘積關(guān)系，在六邊形中 任意一點(diǎn)的值等于緊挨著這一點(diǎn)的兩個(gè)端點(diǎn)值 的積
圖5 乘積關(guān)系
三角函數(shù)的定義域：
我們一起分別來討論它們的定義域和值域：
①正弦函數(shù)sin α的定義域是一切實(shí)數(shù)R，值域是[-1,1]，其函數(shù)圖象如圖6所示：
圖6 正弦函數(shù)圖像
由圖象可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，周期 T=2π，其對(duì)稱性是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間：[-π/2±2kπ，π/2±2kπ] ，（K∈Z） ；單調(diào)遞減區(qū)間：[π/2±2kπ，3π/2±2kπ]，（K∈Z）。正弦函數(shù)的定義域是反正弦函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的值域是反正弦函數(shù)的定義域。
②余弦函數(shù)cos α的定義域是一切實(shí)數(shù)R，值域是[-1,1],其函數(shù)圖象如圖7所示：
圖7 余弦函數(shù)圖像
由圖象可知，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，周期 T=2π，其對(duì)稱性是關(guān)于y軸對(duì)稱，單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間：[π±2kπ，2π±2kπ] ，（K∈Z） 單調(diào)遞減區(qū)間：[0±2kπ，π±2kπ]，（K∈Z）。余弦函數(shù)的定義域是反余弦函數(shù)的值域，余弦函數(shù)的值域是反余弦函數(shù)的定義域。
③正切函數(shù) tan α的定義域是α ≠ π/2+kπ，（K∈Z），值域是一切實(shí)數(shù)R，其函數(shù)圖像如圖8所示：
圖8 正切函數(shù)圖像
由圖象可知，正切函數(shù)是奇函數(shù)，周期 T=π，其對(duì)稱性是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，單調(diào)性只有單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為[-π/2±kπ，π/2±kπ] ，（K∈Z），沒有單調(diào)遞減。正切函數(shù)的定義域是反正切函數(shù)的值域，正切函數(shù)的值域是反正切函數(shù)的定義域。
④ 余切函數(shù)cot α的定義域是 α≠kπ，（K∈Z） 值域是一切實(shí)數(shù)R，其函數(shù)圖象如圖9所示：
圖9 余切函數(shù)圖像
由圖像可知，余切函數(shù)是奇函數(shù)，周期 T=π，其對(duì)稱性是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，單調(diào)性只有單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為[0±kπ，π±kπ] ，沒有單調(diào)遞增。余切函數(shù)的定義域是反余切函數(shù)的值域，余切函數(shù)的值域是反余切函數(shù)的定義域。
由于正割函數(shù)sec α、余割函數(shù)csc α、反正割函數(shù)arcsec α、反余割函數(shù)arccsc α，專升本數(shù)學(xué)不考，加上正割函數(shù)、余割函數(shù)、反正割函數(shù)、反余割函數(shù)的圖像麻煩，就不進(jìn)行研究了。
今天的討論到此為止，以上內(nèi)容是我個(gè)人見解，不代表官方的意見，下次我們來討論其他函數(shù)的五種性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性、有界無界性。
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