目前大家應(yīng)該是對三角形的內(nèi)角和是多少度（三角形內(nèi)角和一定是 180°嗎）比較感興趣的，所以今天好房網(wǎng)小編CC就來為大家整理了一些關(guān)于三角形的內(nèi)角和是多少度（三角形內(nèi)角和一定是 180°嗎）方面的相關(guān)知識來分享給大家，希望大家會喜歡哦。

三角形的內(nèi)角和是多少度（三角形內(nèi)角和一定是 180°嗎）

如果有人問你：“三角形內(nèi)角和等于多少？”你肯定會不假思索地告訴他：“180°！”

假如那個人說不是180°，那么你可能會認為他無知。

其實，“三角形內(nèi)角和等于180°”只是歐幾里得幾何學（Euclid Geometry）中的一個定理。也就是說，在歐幾里得幾何學里，一個三角形的內(nèi)角和等于 180°，但如果跳出歐幾里得幾何學的范圍，一個三角形的內(nèi)角和就不一定等于 180°！

舉個栗子，地球的赤道、0 度經(jīng)線和 90 度經(jīng)線相交構(gòu)成一個“三角形”，這個“三角形”的三個角都應(yīng)該是 90°，它們的和就是270°！

你感到奇怪嗎？你知道除了歐幾里得幾何（歐氏幾何）學外，還有其他幾何學嗎？這些幾何學稱為非歐（歐幾里得）幾何學。

歐式幾何

想要探索非歐幾何，先要了解歐式幾何。歐幾里得幾何指按照古希臘數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》構(gòu)造的幾何學。有時單指平面上的幾何，即平面幾何。數(shù)學老師課堂上教授的就是歐式幾何。它有以下幾條簡單的公理：

任意兩個點可以通過一條直線連接。

任意線段能無限延長成一條直線。

給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

所有直角都全等。

若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。

這五條“顯然”的公理是平面幾何的基石，我們也是仰仗這些公理干掉了一道道幾何題目。但機智的你有沒有發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)（平行公設(shè)）和前面的四個公設(shè)比較起來，文字敘述冗長，而且不那么顯而易見，有違數(shù)學的簡潔美感呢?

在《幾何原本》中，證明前28個命題并沒有用到這個公設(shè)，這很自然引起人們考慮：這條啰哩八嗦的公設(shè)是否可由其他的公理和公設(shè)推出，也就是說，平行公設(shè)可能是多余的。

羅氏幾何的誕生

因此，一些數(shù)學家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個公設(shè)來證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達2000多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。

由于證明第五公設(shè)的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走得不對。第五公設(shè)到底能不能被證明？

到了十八世紀，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基（ Lobachevsky）在證明第五公設(shè)的過程中走了另一條路。羅巴切夫斯基的爸爸“老羅”也一生致力于研究第五公設(shè)的證明，但并沒有什么成果，老羅曾告誡自己的兒子“小羅”：“你不要搞第五公理了，我都研究一輩子了，都沒搞出來，這簡直是數(shù)學家的噩夢?！?/p>

然而小羅并沒有聽從老爸的建議。他提出了一個和歐氏平行公理相矛盾的命題“過直線外一點，至少可以作兩條直線和已知直線不相交”，用它來代替第五公設(shè)，然后與歐氏幾何的前四個公設(shè)結(jié)合成一個公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認為如果這個系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實就是數(shù)學中的反證法。

羅氏幾何符合雙曲面模型

但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結(jié)論：

第一，第五公設(shè)不能被證明。

第二，在新的公理系統(tǒng)里展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上沒有矛盾的新的定理，并形成了新的理論體系。這個理論體系像歐氏幾何學的理論體系一樣是完備的、嚴密的。

左：歐式幾何 右：羅氏幾何

這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何學，簡稱羅氏幾何學（Lobachevskian geometry），也是我們最早發(fā)現(xiàn)的非歐幾何學。

羅氏幾何學的公理系統(tǒng)和歐氏幾何學不同的地方，僅僅是把歐氏幾何學平行公理“過直線外一點，能并且只能作一條直線平行于已知直線”用“過直線外一點，至少可以作兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐氏幾何學內(nèi)容不同的新命題。

機智的你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，上面這些命題和我們的直覺是矛盾的。但是，數(shù)學家們經(jīng)過思考提出，可以用我們習慣的辦法作一個直觀“模型”來證實它的正確性。

擬球曲面

1868 年，意大利數(shù)學家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何學可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現(xiàn)。他發(fā)現(xiàn)這里三角形的三個內(nèi)角之和小于180°，這相當于給羅氏幾何找到了一種有實際意義的模型。

那個時代被譽為“數(shù)學王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不能被證明，同時也涉足了非歐幾何學的研究。但高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在書信中向朋友表示了自己的看法，并沒有公開支持羅巴切夫斯基的新理論。

黎曼幾何學

那么既然我們能把第五公里改成“過一點，有多條直線與已知直線平行”，是不是也可以改成“過一點，沒有直線與已知直線平行”呢？

于是，有個叫黎曼的聰明人，結(jié)合歐式幾何的前四條公里加上“過一點，沒有直線與已知直線平行”創(chuàng)建了自己的幾何——黎曼幾何。比如，在一個球面上，過直線外一點所畫的直線一定與已知直線相交。所以黎曼幾何又稱橢球幾何。

##可能會有人說地球儀上的緯線是平行的呀？！但是注意曲率展開后的緯線是彎的，緯線上任意兩點最短連線不是緯線本身，當然赤道除外。球面上的直線只有大圓。##

在航海學上黎曼幾何也得到了廣泛應(yīng)用。地球本身就是曲面的，如果使用歐式幾何，只會得到錯誤的結(jié)論。

Credit：B站 肉兔君

近代黎曼幾何學在廣義相對論里得到了重要的應(yīng)用。物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時空均勻性的觀念，他認為時空是彎曲的，這恰恰是和黎曼幾何學的背景相似。正因為如此愛因斯坦在看到了羅巴切夫斯基和黎曼的發(fā)現(xiàn)之后，才會欣喜若狂，他終于找到了一種可以解釋相對論的數(shù)學工具了。

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