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什么是素?cái)?shù)（有哪些和素?cái)?shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)猜想）

素?cái)?shù)是所有數(shù)字的基礎(chǔ)，就如元素周期表中的化學(xué)元素一樣，化學(xué)元素是組成所有化學(xué)物質(zhì)的基礎(chǔ)，素?cái)?shù)包含了數(shù)的所有奧秘，所以數(shù)學(xué)研究者對(duì)素?cái)?shù)有著特殊的喜愛(ài)。

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素?cái)?shù)

素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù)，指大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)，比如113……。

最初研究素?cái)?shù)的是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330年—前275年），他在《幾何原本》中用反證法，對(duì)“素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)”給出了一個(gè)經(jīng)典的證明方法。

證明思路：

假設(shè)存在最大的素?cái)?shù)P，那么將已知所有的素?cái)?shù)相乘再加1，得到M：

M=2×3×5×7×11×……×P+1，

顯然M不可能被已知的任何一個(gè)素?cái)?shù)整除，所以M有可能是素?cái)?shù)，或者存在比P更大但是比M小的素?cái)?shù)因子；無(wú)論哪種情況，都說(shuō)明存在比P更大的素?cái)?shù)，與假設(shè)矛盾，所以素?cái)?shù)是無(wú)限的。

素?cái)?shù)是構(gòu)成整數(shù)的基礎(chǔ)，所有整數(shù)都可以用素?cái)?shù)來(lái)表示，如下：

所以素?cái)?shù)包含了所有整數(shù)的奧秘，整數(shù)分解就是破解整數(shù)奧秘的途徑之一，因?yàn)檎麛?shù)分解后只剩下素?cái)?shù)因子。

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素?cái)?shù)的應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)的分解是許多網(wǎng)絡(luò)加密的基礎(chǔ)，我們要把兩個(gè)已知數(shù)相乘很容易，但是要把一個(gè)大數(shù)分解卻很難，利用整數(shù)的這一非對(duì)稱特性，密碼學(xué)家巧妙地設(shè)計(jì)了加密和解密的數(shù)學(xué)原理，比如RSA非對(duì)稱加密算法，就是基于大數(shù)分解。

換句話說(shuō)，一旦出現(xiàn)一種算法能很快地分解一個(gè)大數(shù)，那么RSA加密方法將失效，但是目前為止還沒(méi)有出現(xiàn)這樣的高效算法。

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素?cái)?shù)的未解之謎

數(shù)學(xué)家圍繞素?cái)?shù)發(fā)現(xiàn)了許多規(guī)律，其中很多還是猜想，有些歷經(jīng)幾百年也沒(méi)有人能夠證明，這些猜想都是數(shù)學(xué)上的圣杯，誰(shuí)要是能證明其一，必定名留青史。

（1）哥德巴赫猜想

猜想內(nèi)容：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，簡(jiǎn)稱“1+1=2”。

哥德巴赫于1742年提出，如今已經(jīng)270多年，最好的成果是我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明的“1+2”，也就是：任一充分大的偶數(shù)，都可以寫成一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和。

（2）孿生素?cái)?shù)猜想

相差2的素?cái)?shù)對(duì)叫做孿生素?cái)?shù)，比如5和7，11和13，該猜想說(shuō)的是孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多對(duì)。

目前最好的成果，是美籍華人數(shù)學(xué)家張益唐，在2013年提出一種方法，證明存在無(wú)窮多個(gè)差小于某個(gè)數(shù)M的素?cái)?shù)對(duì)，當(dāng)時(shí)張益唐證明了M=7000萬(wàn)的情況，一旦完成M=2就解決了孿生素?cái)?shù)猜想，目前M已經(jīng)被縮小到了200多。

（3）ABC猜想

該猜想描述了三個(gè)互素整數(shù)a、b、c（滿足a+b=c）的素因子之間的關(guān)系，是數(shù)論中一個(gè)非常美妙的猜想，也是一個(gè)非常強(qiáng)的數(shù)學(xué)猜想，一旦ABC猜想被證明，那么證明費(fèi)馬大定理只需要短短五句話。

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