目前大家應該是對對稱（什么是對稱）比較感興趣的，所以今天好房網(wǎng)小編CC就來為大家整理了一些關(guān)于對稱（什么是對稱）方面的相關(guān)知識來分享給大家，希望大家會喜歡哦。

對稱（什么是對稱？）

液態(tài)什么結(jié)構(gòu)都沒有，它有最高的對稱性。固態(tài)可以有各種各樣不同的結(jié)構(gòu)，這反映在其較低的，各種各樣不同的對稱性上。所以從液態(tài)到固態(tài)的轉(zhuǎn)變，是一個從高對稱到低對稱的對稱性破缺過程。我們發(fā)現(xiàn)幾乎所有的物質(zhì)態(tài)(如液態(tài)、固態(tài)、鐵磁態(tài)、超導態(tài))和它們之間的轉(zhuǎn)變，都可以用這一對稱性的觀念來描寫。物質(zhì)態(tài)和對稱性，這兩個看來完全不相干的東西，其實卻有深刻而緊密的聯(lián)系。對稱性是描寫各種物質(zhì)態(tài)的基石。今天這兩篇文章從數(shù)學和物理的角度介紹了對稱性。

——文小剛

作者羅伯特·庫爾曼 ( Robert J. Coolman )

翻譯高斌

校對雨遇

在幾何學中，如果一個物體經(jīng)過一個變換(transformation)，例如反射或者旋轉(zhuǎn)，仍能和以前看起來一樣，我們就稱這個物體具有對稱性(symmetry)。對稱性是所有圖案背后都會表現(xiàn)出的基本數(shù)學原理，它對于藝術(shù)（用于建筑、陶器、絎縫（布藝）、地毯制造）、數(shù)學（涉及幾何、群論和線性代數(shù)）、生物學（有機體的形狀）、化學（分子形狀和晶體結(jié)構(gòu)）和物理學（對稱守恒量）都是非常重要的?！皊ymmetry”一詞是一個十六世紀的拉丁詞語，由希臘語“syn-”（一起）和“metron”（度量）派生而來的。

對稱的類型

反射類(Reflective)

一般來講，對稱通常指的是鏡面對稱(mirror symmetry)或稱為反射對稱(reflective symmetry)，即一個物體可以被一條直線（二維時）或一個平面（三維時）分成彼此鏡像的兩半，例如等腰三角形和人臉就分別是一個二維和三維對稱圖形的例子。數(shù)學上來講，一個物體表現(xiàn)出鏡面對稱性是指“在反射下保持不變”，也就是在某種特定方式下反射物體并不會改變它的外觀。

Figure 1 等腰三角形和蝴蝶是具有反射對稱性的例子。二維物體有一條對稱線，三維物體有一個對稱面，它們在反射下都是不變的。

在生物學中，反射對稱性通常被稱為雙側(cè)對稱性(bilateral symmetry)，這些例子很容易在哺乳動物、爬行動物、鳥類和魚類中找到。

旋轉(zhuǎn)類(Rotational)

生物學中另一種常見的對稱形式是徑向?qū)ΨQ(radial symmetry)，在花類和許多海洋生物中我們都可以發(fā)現(xiàn)它，例如?？?、海星和水母。在數(shù)學上，這樣的物體因為“在旋轉(zhuǎn)下保持不變”而被描述為能夠表現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)對稱性(rotational symmetry)，它們可以通過一個點（二維時）或一個軸（三維時）旋轉(zhuǎn)某些量而保持不變。

Figure 2 陰陽符號和風車是具有旋轉(zhuǎn)對稱性的例子。二維物體有一個對稱中心，三維物體有一個對稱軸，它們在旋轉(zhuǎn)下是不變的。

平移類(Translational)

想象一下，如果我們把所有方向都延伸到無窮遠，一個二維或三維圖形“在平移下保持不變”，我們就稱它具有平移對稱性(translational symmetry)。所有的棋盤花紋、大多數(shù)攀爬架以及地毯和壁紙的圖案都具有平移對稱性。

Figure 3 壁紙的圖案和攀爬架是具有平移對稱性的例子，如果把所有方向都延伸到無窮遠，那它們在平移下是不變的。

其他形式的對稱

盡管一些例子說明物體可以具有不止一種對稱性（例如六角星具有六條反射對稱線和一個六重旋轉(zhuǎn)不變點），但是有一些物體和圖案只在兩種變換同時進行的條件下保持不變。

瑕旋轉(zhuǎn)(Improper Rotation) = 反射+旋轉(zhuǎn)

一個帶有定向邊緣的五角反棱柱（pentagonal antiprism）在瑕旋轉(zhuǎn)下保持不變（在下面的例子中，水平旋轉(zhuǎn)36°，再沿著中心水平面面反射）。

滑移反射(Glide Reflection) = 平移+反射

如果我們延伸任意方向至無窮遠，則下圖中的腳印圖案是滑移反射不變的（平移加反射）。

螺旋旋轉(zhuǎn)(Screw Rotation) = 平移+旋轉(zhuǎn)

同樣的，如果我們延伸任意方向至無窮遠，則下圖中的一個由四面體構(gòu)成的螺旋結(jié)構(gòu)是螺旋旋轉(zhuǎn)不變的。（平移加一個138°的旋轉(zhuǎn)）

分類物體和圖案

數(shù)學家和晶體學家們根據(jù)使物體保持不變的各種變換方式來對物體和圖案的對稱性進行分類。一個二維或三維物體的“點群(point group)”是指能使物體在反射和旋轉(zhuǎn)（三維時，瑕旋轉(zhuǎn)）變換下保持不變的所有變換方式全體。當一個物體使用一個主題圖案時，我們可以很容易地確定出它的一個晶體學點群(crystallographic point group)：在二維中，有10種（下圖）；在三維中，它們有32種。

Figure 4 二維中的十種晶體學點群

上圖中的通用記號叫作Schoenflies記號，來自于德國數(shù)學家Arthur Moritz Schoenflies。

“C”代表“cyclic（循環(huán)）”。這些對象都有旋轉(zhuǎn)對稱性，但是沒有反射對稱性。下標數(shù)字代表具有幾重旋轉(zhuǎn)對稱性，例如C2表示兩重旋轉(zhuǎn)對稱性。所有的循環(huán)都有反向旋轉(zhuǎn)的鏡像。

“D”代表“dihedral（二面角）”。這些對象同時具有反射和旋轉(zhuǎn)對稱性。下標數(shù)字表示它有幾重旋轉(zhuǎn)對稱性，也就同時意味著有幾條反射對稱線。

晶格(Lattices)

晶格是空間中點的一種重復圖案，其中的物體可以被重復（更精確來講，指平移，滑移反射或者螺旋旋轉(zhuǎn)）。在一維時只有1種晶格，二維時有5種，三維時有14種。

通過二維圖案（分配給它10種晶體學點群中的一種）沿一維或二維晶格重復，我們可以得到一個圖案。當一個二維物體沿一維晶格重復時，我們可以得到7種飾帶群(frieze group)中的一種，當沿三維晶格重復時，可以得到17種壁紙群(wallpaper group)的一種。

三維圖案更為復雜，并且很少在晶體以外被發(fā)現(xiàn)。不同的三維點群沿著各種各樣的三維晶格重復組成了230種不同的空間群。三維物體也能夠沿一維或二維晶格重復，分別產(chǎn)生桿群(rod group)或圖層群(layer group)。

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