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線性變換在不同基下所對(duì)應(yīng)的矩陣是相似的；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作同一個(gè)線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣。

矩陣相似的充要條件

設(shè)A，B是數(shù)域P上兩個(gè)矩陣，A與B相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子。兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。

n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。注： 定理的證明過(guò)程實(shí)際上已經(jīng)給出了把方陣對(duì)角化的方法。

若矩陣可對(duì)角化，則可按下列步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)

（1） 求出全部的特征值；

（2）對(duì)每一個(gè)特征值,設(shè)其重?cái)?shù)為k,則對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系由k個(gè)向量構(gòu)成，即為對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

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