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如圖四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形$\angle(BAD=60^{\circ}$$\triangle PAD$是等邊三角形且$PB=\sqrt{6}$$M$是棱$PC$上除$P$$C$的任意一點(diǎn)且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時(shí)求證平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$求兩部分體積之比.","title_text":"如圖四棱錐$
2022-08-01 17:40:05 科技 來源：
想必現(xiàn)在有很多小伙伴對于如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$\angle BAD=60^{\circ}$，$\triangle PAD$是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，$M$是棱$PC$上除$P$、$C$的任意一點(diǎn)，且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時(shí)，求證：平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分，當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$，求兩部分體積之比.","title_text":"如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$\angle BAD=60^{\circ}$，$\triangle PAD$是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，$M$是棱$PC$上除$P$、$C$的任意一點(diǎn)，且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時(shí)，求證：平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分，當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$，求兩部分體積之比.方面的知識(shí)都比較想要了解，那么今天小好小編就為大家收集了一些關(guān)于如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$\angle BAD=60^{\circ}$，$\triangle PAD$是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，$M$是棱$PC$上除$P$、$C$的任意一點(diǎn)，且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時(shí)，求證：平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分，當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$，求兩部分體積之比.","title_text":"如圖，四棱錐$P-ABCD$的底面是邊長為$2$的菱形，$\angle BAD=60^{\circ}$，$\triangle PAD$是等邊三角形，且$PB=\sqrt{6}$，$M$是棱$PC$上除$P$、$C$的任意一點(diǎn)，且$\dfrac{PM}{PC}=\lambda$（1）當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{3}$時(shí)，求證：平面$BDM\bot $平面$ABCD$（2）平面$BDM$將四棱錐分成兩部分，當(dāng)$\lambda =\dfrac{1}{2}$，求兩部分體積之比.方面的知識(shí)分享給大家，希望大家會(huì)喜歡哦。
1、$left(1right)$證明：設(shè)$AD$中點(diǎn)為$O$，連結(jié)$PO$、$BO$、連$BD$與$OC$交于$Q$點(diǎn)，則$PObot AD$，且$PO=sqrt{3}$，
2、由已知，$triangle ABD$為等邊三角形，$therefore BO=sqrt{3}$，在$triangle POB$中，
3、$because PO=BO=sqrt{3}$，$PB=sqrt{6}$，
4、$therefore PO^{2}+BO^{2}=PB^{2}$，
5、$therefore PObot BO$，則$PObot $平面$ABCD$，連結(jié)$MQ$，
6、$because OD$∥$BC,therefore triangle BQC$∽$triangle OQD,$則$dfrac{OQ}{QC}=dfrac{OD}{BC}=dfrac{1}{2}$，
7、當(dāng)$lambda =dfrac{1}{3}$時(shí)，$dfrac{PM}{MC}=dfrac{1}{2}$，
8、$therefore dfrac{OQ}{QC}=dfrac{PM}{MC}$，則$PO$∥$MQ$，
9、$therefore MQbot $平面$ABCD$，又$MQsubset $平面$BDM$，
10、$therefore $平面$BDMbot $平面$ABCD$；
11、$left(2right) $當(dāng)$lambda =dfrac{1}{2}$時(shí)，$M$是$PC$的中點(diǎn)，$P$到平面$ABCD$距離是$M$到平面$BDC$的距離的$2$倍，
12、又$S_{ABCD}=2S_{triangle BCD}$，$therefore V_{P-ABCD}=4V_{M-BDC}$，
13、則平面$BDM$將四棱錐分成的上下兩部分體積為$3:1$.
本文到此結(jié)束，希望對大家有所幫助。
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