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費馬小定理能解決什么實際問題(費馬小定理是什么)

2022-06-07 16:12:20 教育百科來源:
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相信目前很多小伙伴對于費馬小定理是什么都比較感興趣,那么小洋洋今天在網上也是收集了一些與費馬小定理是什么相關的信息來分享給大家,希望能夠幫助到大家哦。

1、費馬小定理
費馬小定理是數(shù)論中的一個重要定理,其內容為:
假如p是質數(shù),且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p)
費馬小定理的歷史
皮埃爾•德•費馬于1636年發(fā)現(xiàn)了這個定理,在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的書寫方式.在他的信中費馬還提出a是一個質數(shù)的要求,但是這個要求實際上是不存在的.與費馬小定理相關的有一個中國猜想,這個猜想是中國數(shù)學家提出來的,其內容為:當且僅當2^(p-1)≡1(mod p),p是一個質數(shù).
假如p是一個質數(shù)的話,則2^(p-1)≡1(mod p)成立(這是費馬小定理的一個特殊情況)是對的.但反過來,假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一個質數(shù)是不成立的(比如341符合上述條件但不是一個質數(shù)).因此整個來說這個猜想是錯誤的.一般認為中國數(shù)學家在費馬前2000年的時候就已經認識中國猜測了,但也有人認為實際上中國猜測是1872年提出的,認為它早就為人所知是出于一個誤解.
費馬小定理的證明
一、準備知識:
引理1.剩余系定理2
若a,b,c為任意3個整數(shù),m為正整數(shù),且(m,c)=1,則當ac≡bc(modm)時,有a≡b(modm)
證明:ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因為(m,c)=1即m,c互質,c可以約去,a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理2.剩余系定理5
若m為整數(shù)且m>1,a,a,a,a,…a為m個整數(shù),若在這m個數(shù)中任取2個整數(shù)對m不同余,則這m個整數(shù)對m構成完全剩余系.
證明:構造m的完全剩余系(0,1,2,…m-1),所有的整數(shù)必然這些整數(shù)中的1個對模m同余.取r=0,r=1,r=2,r=3,…r=i-1,1。

本文到此結束,希望對大家有所幫助。


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