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1、歷史表明,重要數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的,函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響,可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡,回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展,看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程,是一件十分有益的事情,它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認(rèn)識的清晰度,而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用．
（一）
?馬克思曾經(jīng)認(rèn)為,函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當(dāng)研究,所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽．
?自哥白尼的天文學(xué)革命以后,運(yùn)動就成了文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題,人們在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn),那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運(yùn)行的軌道是橢圓,原理是什么?還有,研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達(dá)到的高度,以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題,既是科學(xué)家的力圖解決的問題,也是軍事家要求解決的問題,函數(shù)概念就是從運(yùn)動的研究中引申出的一個數(shù)學(xué)概念,這是函數(shù)概念的力學(xué)來源．
（二）
?早在函數(shù)概念尚未明確提出以前,數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù),比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中,已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系,但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念,因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候,數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義．
?1673年,萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”,后來他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量．由此可以看出,函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛而較為模糊的,幾乎與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用另一名詞“流量”來表示變量間的關(guān)系,直到1689年,瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,對函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義,貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”,表示為yx.
?當(dāng)時,由于連接變數(shù)與常數(shù)的運(yùn)算主要是算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算,所以后來歐拉就索性把用這些運(yùn)算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子,取名為解析函數(shù),還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”．
?18世紀(jì)中葉,由于研究弦振動問題,達(dá)朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說法．在解釋“任意的函數(shù)”概念的時候,達(dá)朗貝爾說是指“任意的解析式”,而歐拉則認(rèn)為是“任意畫出的一條曲線”．現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達(dá)方式,是函數(shù)概念的外延．
（三）
?函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義,引起了理論與實(shí)踐的尖銳矛盾．例如,偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用,但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義,就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年,高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中,做了許多關(guān)于磁的實(shí)驗(yàn)工作,提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論,使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個獨(dú)立分支而出現(xiàn)了,實(shí)際的需要促使人們對函數(shù)的定義進(jìn)一步研究．
?后來,人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量,當(dāng)后一量變化時前一量也隨著變化,那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)．“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì),但卻把變化、運(yùn)動注入到函數(shù)定義中去,是可喜的進(jìn)步．”
?在函數(shù)概念發(fā)展史上,法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大,富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì),主張函數(shù)不必局限于解析表達(dá)式．1822年,他在名著《熱的解析理論》中說,“通常,函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo),它們中的每一個都是任意的……,我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中,他用一個三角級數(shù)和的形式表達(dá)了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說就是,任意一個以2π為周期函數(shù),在〔－π,π〕區(qū)間內(nèi),可以由
?表示出,其中
?富里埃的研究,從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想,在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動．原來,在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝,級數(shù)把解析式和曲線溝通了,那種視函數(shù)為解析式的觀點(diǎn)終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．
?通過一場爭論,產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．
?1834年,俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù),它對于每個x都有確定的值,并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出,也可以由一個條件給出,這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在,但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展,因?yàn)椤皩?yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．
?1837年,德國數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要,所以他的定義是：“如果對于x的每一值,y總有完全確定的值與之對應(yīng),則y是x的函數(shù)．”
?根據(jù)這個定義,即使像如下表述的,它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：
f（x）= 1?（x為有理數(shù)）,
0?（x為無理數(shù)）．
?在這個函數(shù)中,如果x由0逐漸增大地取值,則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區(qū)間里,f（x）無限止地忽0忽1．因此,它難用一個或幾個式子來加以表示,甚至究竟能否找出表達(dá)式也是一個問題．但是不管其能否用表達(dá)式表示,在狄里克萊的定義下,這個f（x）仍是一個函數(shù)．
?狄里克萊的函數(shù)定義,出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述,以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受．至此,我們已可以說,函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成,這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義．
（四）
?生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步發(fā)展,又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾,本世紀(jì)20年代,人類開始研究微觀物理現(xiàn)象．1930年量子力學(xué)問世了,在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)——δ-函數(shù),
即?ρ（x）＝ 0,x≠0,
∞,x=0．
且
?δ-函數(shù)的出現(xiàn),引起了人們的激烈爭論．按照函數(shù)原來的定義,只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應(yīng)關(guān)系,而沒有把“∞”作為數(shù)．另外,對于自變量只有一個點(diǎn)不為零的函數(shù),其積分值卻不等于零,這也是不可想象的．然而,δ-函數(shù)確實(shí)是實(shí)際模型的抽象．例如,當(dāng)汽車、火車通過橋梁時,自然對橋梁產(chǎn)生壓力．從理論上講,車輛的輪子和橋面的接觸點(diǎn)只有一個,設(shè)車輛對軌道、橋面的壓力為一單位,這時在接觸點(diǎn)x=0處的壓強(qiáng)是
?P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．
?其余點(diǎn)x≠0處,因無壓力,故無壓強(qiáng),即?P（x）=0.另外,我們知道壓強(qiáng)函數(shù)的積分等于壓力,即
?函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展,產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應(yīng),則稱在集合M上定義一個函數(shù),記為y=f（x）.元素x稱為自變元,元素y稱為因變元．
?函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字,但卻是概念上的重大發(fā)展,是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折,近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標(biāo)志,它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系．
?函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革,形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義,應(yīng)該說已經(jīng)相當(dāng)完善了．不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的,函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié),近二十年來,數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念—“關(guān)系”．
?設(shè)集合X、Y,我們定義X與Y的積集X×Y為
?X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
?積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系,若（x,y）∈R,則稱x與y有關(guān)系R,記為xRy.若（x,y）R,則稱x與y無關(guān)系．
?現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系,即fX×Y,如果（x,y）,（x,z）∈f,必有y=z,那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)．在此定義中,已在形式上回避了“對應(yīng)”的術(shù)語,全部使用集合論的語言了．
?從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中,我們體會到,聯(lián)系實(shí)際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材,研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要。

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