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1、代數(shù)式:由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數(shù)運(yùn)算所得的式子.例如:ax＋2b,－2／3等.
代數(shù)是研究數(shù)字和文字的代數(shù)運(yùn)算理論和方法,更確切的說,是研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù),以及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科. 初等代數(shù)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展.在古代,當(dāng)算術(shù)里積累了大量的,關(guān)于各種數(shù)量問題的解法后,為了尋求有系統(tǒng)的、更普遍的方法,以解決各種數(shù)量關(guān)系的問題,就產(chǎn)生了以解方程的原理為中心問題的初等代數(shù).
代數(shù)是由算術(shù)演變來的,這是毫無疑問的.至于什么年代產(chǎn)生的代數(shù)學(xué)這門學(xué)科,就很不容易說清楚了.比如,如果你認(rèn)為“代數(shù)學(xué)”是指解bx+k=0這類用符號表示的方程的技巧.那么,這種“代數(shù)學(xué)”是在十六世紀(jì)才發(fā)展起來的.
如果我們對代數(shù)符號不是要求象現(xiàn)在這樣簡練,那么,代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生可上溯到更早的年代.西方人將公元前三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家刁藩都看作是代數(shù)學(xué)的鼻祖.而在中國,用文字來表達(dá)的代數(shù)問題出現(xiàn)的就更早了.
“代數(shù)”作為一個數(shù)學(xué)專有名詞、代表一門數(shù)學(xué)分支在我國正式使用,最早是在1859年.那年,清代數(shù)學(xué)家里李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書,譯本的名稱就叫做《代數(shù)學(xué)》.當(dāng)然,代數(shù)的內(nèi)容和方法,我國古代早就產(chǎn)生了,比如《九章算術(shù)》中就有方程問題.
初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程,因而長期以來都把代數(shù)學(xué)理解成方程的科學(xué),數(shù)學(xué)家們也把主要精力集中在方程的研究上.它的研究方法是高度計(jì)算性的.
要討論方程,首先遇到的一個問題是如何把實(shí)際中的數(shù)量關(guān)系組成代數(shù)式,然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程.所以初等代數(shù)的一個重要內(nèi)容就是代數(shù)式.由于事物中的數(shù)量關(guān)系的不同,大體上初等代數(shù)形成了整式、分式和根式這三大類代數(shù)式.代數(shù)式是數(shù)的化身,因而在代數(shù)中,它們都可以進(jìn)行四則運(yùn)算,服從基本運(yùn)算定律,而且還可以進(jìn)行乘方和開方兩種新的運(yùn)算.通常把這六種運(yùn)算叫做代數(shù)運(yùn)算,以區(qū)別于只包含四種運(yùn)算的算術(shù)運(yùn)算.
在初等代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的過程中,通過解方程的研究,也促進(jìn)了數(shù)的概念的進(jìn)一步發(fā)展,將算術(shù)中討論的整數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念擴(kuò)充到有理數(shù)的范圍,使數(shù)包括正負(fù)整數(shù)、正負(fù)分?jǐn)?shù)和零.這是初等代數(shù)的又一重要內(nèi)容,就是數(shù)的概念的擴(kuò)充.
有了有理數(shù),初等代數(shù)能解決的問題就大大的擴(kuò)充了.但是,有些方程在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然沒有解.于是,數(shù)的概念在一次擴(kuò)充到了實(shí)數(shù),進(jìn)而又進(jìn)一步擴(kuò)充到了復(fù)數(shù).
那么到了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是不是仍然有方程沒有解,還必須把復(fù)數(shù)再進(jìn)行擴(kuò)展呢?數(shù)學(xué)家們說：不用了.這就是代數(shù)里的一個著名的定理—代數(shù)基本定理.這個定理簡單地說就是n次方程有n個根.1742年12月15日瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述,后來另一個數(shù)學(xué)家、德國的高斯在1799年給出了嚴(yán)格的證明.
把上面分析過的內(nèi)容綜合起來,組成初等代數(shù)的基本內(nèi)容就是：
三種數(shù)——有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)
三種式——整式、分式、根式
中心內(nèi)容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程組.
初等代數(shù)的內(nèi)容大體上相當(dāng)于現(xiàn)代中學(xué)設(shè)置的代數(shù)課程的內(nèi)容,但又不完全相同.比如,嚴(yán)格的說,數(shù)的概念、排列和組合應(yīng)歸入算術(shù)的內(nèi)容；函數(shù)是分析數(shù)學(xué)的內(nèi)容；不等式的解法有點(diǎn)像解方程的方法,但不等式作為一種估算數(shù)值的方法,本質(zhì)上是屬于分析數(shù)學(xué)的范圍；坐標(biāo)法是研究解析幾何的…….這些都只是歷史上形成的一種編排方法.
初等代數(shù)是算術(shù)的繼續(xù)和推廣,初等代數(shù)研究的對象是代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解.代數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)是只進(jìn)行有限次的運(yùn)算.全部初等代數(shù)總起來有十條規(guī)則.這是學(xué)習(xí)初等代數(shù)需要理解并掌握的要點(diǎn).
這十條規(guī)則是：
五條基本運(yùn)算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；
兩條等式基本性質(zhì):等式兩邊同時加上一個數(shù),等式不變；等式兩邊同時乘以一個非零的數(shù),等式不變；
三條指數(shù)律：同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)想乘；積的乘方等于乘方的積.
初等代數(shù)學(xué)進(jìn)一步的向兩個方面發(fā)展,一方面是研究未知數(shù)更多的一次方程組；另一方面是研究未知數(shù)次數(shù)更高的高次方程.這時候,代數(shù)學(xué)已由初等代數(shù)向著高等代數(shù)的方向發(fā)展了.
代數(shù)式化簡：
代數(shù)式化簡求值是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.學(xué)生在解題時如果找不準(zhǔn)解決問題的切入點(diǎn)、方法選取不當(dāng),往往事倍功半.如何提高學(xué)習(xí)效率,順利渡過難關(guān),筆者就這一問題,進(jìn)行了歸類總結(jié)并探討其解法,供同學(xué)們參考.
一. 已知條件不化簡,所給代數(shù)式化簡
二. 已知條件化簡,所給代數(shù)式不化簡
三. 已知條件和所給代數(shù)式都要化簡
第3課 整式
知識點(diǎn)
代數(shù)式、代數(shù)式的值、整式、同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、去括號與去括號法則、冪的運(yùn)算法則、整式的加減乘除乘方運(yùn)算法則、乘法公式、正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
大綱要求
了解代數(shù)式的概念,會列簡單的代數(shù)式.理解代數(shù)式的值的概念,能正確地求出代數(shù)式的值；
2、 理解整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念,會把多項(xiàng)式按字母的降冪（或升冪）排列,理解同類項(xiàng)的概念,會合并同類項(xiàng)；
3、 掌握同底數(shù)冪的乘法和除法、冪的乘方和積的乘方運(yùn)算法則,并能熟練地進(jìn)行數(shù)字指數(shù)冪的運(yùn)算；
4、 能熟練地運(yùn)用乘法公式（平方差公式,完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）進(jìn)行運(yùn)算；
5、 掌握整式的加減乘除乘方運(yùn)算,會進(jìn)行整式的加減乘除乘方的簡單混合運(yùn)算.
考查重點(diǎn)
1．代數(shù)式的有關(guān)概念．
(1)代數(shù)式：代數(shù)式是由運(yùn)算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子．單獨(dú)的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式．
(2)代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母,計(jì)算后所得的結(jié)果p叫做代數(shù)式的值．
求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡,要先化簡再求值．
(3)代數(shù)式的分類
2．整式的有關(guān)概念
(1)單項(xiàng)式：只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式．
對于給出的單項(xiàng)式,要注意分析它的系數(shù)是什么,含有哪些字母,各個字母的指數(shù)分別是什么.
(2)多項(xiàng)式：幾個單項(xiàng)式的和,叫做多項(xiàng)式
對于給出的多項(xiàng)式,要注意分析它是幾次幾項(xiàng)式,各項(xiàng)是什么,對各項(xiàng)再像分析單項(xiàng)式那樣來分析
(3)多項(xiàng)式的降冪排列與升冪排列
把一個多項(xiàng)式技某一個字母的指數(shù)從大列小的順序排列起來,叫做把這個多項(xiàng)式按這個字母降冪排列
把—個多項(xiàng)式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順斤排列起來,叫做把這個多項(xiàng)式技這個字母升冪排列,
給出一個多項(xiàng)式,要會根據(jù)要求對它進(jìn)行降冪排列或升冪排列．
(4)同類項(xiàng)
所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng),叫做同類頃．
要會判斷給出的項(xiàng)是否同類項(xiàng),知道同類項(xiàng)可以合并．即 其中的X可以代表單項(xiàng)式中的字母部分,代表其他式子.
3．整式的運(yùn)算
(1)整式的加減：幾個整式相加減,通常用括號把每一個整式括起來,再用加減號連接．整式加減的一般步驟是：
(i)如果遇到括號．按去括號法則先去括號：括號前是“十”號,把括號和它前面的“+”號去掉.括號里各項(xiàng)都不變符號,括號前是“一”號,把括號和它前面的“一”號去掉．括號里各項(xiàng)都改變符號．
(ii)合并同類項(xiàng)： 同類項(xiàng)的系數(shù)相加,所得的結(jié)果作為系數(shù)．字母和字母的指數(shù)不變．
(2)整式的乘除：單項(xiàng)式相乘(除),把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘(除),對于只在一個單項(xiàng)式(被除式)里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積(商)的一個因式相同字母相乘(除)要用到同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

多項(xiàng)式乘(除)以單項(xiàng)式,先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘(除)以這個單項(xiàng)式,再把所得的積(商)相加．
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加．
遇到特殊形式的多項(xiàng)式乘法,還可以直接算：

(3)整式的乘方
單項(xiàng)式乘方,把系數(shù)乘方,作為結(jié)果的系數(shù),再把乘方的次數(shù)與字母的指數(shù)分別相乘所得的冪作為結(jié)果的因式.。

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